Республиканская олимпиада по физике 2018, 10 класс, теоретический тур

КПД циклических процессов (10 балла)

Рассмотрим некоторый циклический процесс, который происходит с идеальным одноатомным газом. Пусть в этом циклическом процессе $Q_1$ — количество теплоты, подведенное к газу в течении всего процесса, а $Q_2$ — количество отведенного количество теплоты соответственно. Тогда коэффициент полезного действия цикла (КПД) определяется выражением $$\eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}.$$ Из школьного курса известно, что циклом Карно называется процесс, состоящий из двух адиабат и двух изотерм. В цикле Карно гермодинамическая система выполняет механическую работу и обменивается теплотой с двумя тепловыми резервуарами, имеющими постоянные, но различающиеся температуры. Резервуар с более высокой температурой $T_1$ называется нагревателем, а с более низкой температурой $T_2$ — холодильником.
2.1. Запишите выражение для КПД $\eta$ цикла Карно и рассчитайте его для $T_1=800$ К и $T_2=200$ К.
Рассмотрим несколько более сложный вариант работы машины по циклу Карно. Процесс по-прежнему протекает между изотермами с температурами $T$ и $T_1=800$ К, причем $T < T_1$. Теплообмен газа с нагревателем происходит непосредственно при температуре $T_1$, а теплообмен в изотермическом процессе с температурой $T$ происходит с резервуаром, имеющим постоянную температуру $T_2=200$ К, причем $T > T_2$. Известно, что теплообмен между газом и резервуром осуществляется посредством теплопроводности, так что количество теплоты, отдаваемое в единицу времени резервуару, равно $q=\alpha(T-T_2)$, где $\alpha=1$ кВт/К. В дальнейшем считайте, что продолжительность по времени изотермических процессов одинакова, а длительность адиабатических — пренебрежимо мала.
2.2.Найдите зависимость мощности тепловой машины $P(T)$, работающей по этому циклу Карно, от температуры $T$;
2.3.Постройте график зависимости мощности тепловой машины $P(T)$ в интервале температур $T_2 < T < T_1$;
2.4.Аналитически или графически, найдите максимальную мощность $P_{\max}$ данной тепловой машины.
На рисунке справа изображен еще один циклический процесс в диаграмме $P-V$, который происходит с $1$ молем идеального одноатомного газа. Считайте известными величины $P_0$, $V_0$ и универсальную газовую постоянную $R$.
2.5.Рассчитайте минимальную температуру газа $T_{\min}$ в этом процессе.
2.6.Рассчитайте максимальную температуру газа $T_{\max}$ в этом процессе;
2.7.Каков бы был КПД цикла Карно, если бы температура нагревателя была равна $T_{\max}$, а температура холодильника — $T_{\min}$.
2.8.Рассчитайте реальный КПД приведенного цикла.