8-я Жаутыковская олимпиада (2012), теоретический тур

(10 баллов) Эта задача состоит из трех частей, не связанных друг с другом.
Задача 1.А. 2012 (4 балла).

Один конец жёсткого невесомого стержня шарнирно закреплён, к другому концу на перекинутой через невесомый блок нити подвешен груз массой $m$. Ещё два груза массами $20m$ и $12m$ подвешены на нитях к стержню в точках, делящих его на три равные части (см. рис.). Все нити невесомы и нерастяжимы. Стержень удерживают неподвижно в горизонтальном положении, а затем отпускают. Найдите ускорения грузов сразу после отпускания стержня. Ускорение свободного падения равно $g$.
Задача 1.В. И диоды $...$(2,5 балла).

На отдельном бланке приведен график вольтамперной характеристики одного диода (зависимости силы тока через диод от напряжения на нем — $I_0(U)$). Пять таких одинаковых диодов соединены так, как показано на рисунке. Постройте график зависимости силы тока в цепи от напряжения источника $U$, если последнее изменяется от $0$ до $3$ В.
Задача 1.С. Плоская линза (3,5 балла).

Круглая прозрачная плоскопараллельная пластинка толщиной $h$ изготовлена из мате-риала, оптический показатель преломления которого зависит от расстояния $r$ до централь-ной оси пластинки по закону $$n(r)=n_0(1-\beta r^2),\quad (1)$$ где $n_0$, $\beta$ — известные положительные постоянные величины. Пластинка находится в воздухе, показатель преломления которого $n=1$. На оси пластинки на расстоянии $a(a\gg h)$ расположен точечный источник света $S$. Покажите, что пластинка является своеобразной линзой, то есть, формирует точечное изображение источника. Определите, на каком расстоянии $b$ от пластинки находится изображение источника $S$. Чему равно фокусное расстояние этой линзы?