4-я Жаутыковская олимпиада (2008), теоретический тур

Атом гелия (10 баллов) Атом гелия является простейшей многоэлектронной системой. Согласно планетарной модели атома он состоит из ядра с зарядом $+2e$ и двух электронов, которые двигаются вокруг него. Задача об атоме гелия в общем виде решается на основе квантовой механики, где учитывается тождественность (неразличимость) двух электронов. Это достаточно сложная задача. Однако, многие качественные сведения об атоме гелия можно получить не решая непосредственно квантовомеханическую задачу, а всего лишь применяя правила квантования Бора. В этой задаче Вам предлагается качественно исследовать атом гелия. В дальнейшем во всех ниже перечисленных пунктах считайте, что электроны в атоме имеют минимальную возможную энергию (находятся в основном состоянии) и двигаются по одной круговой орбите радиуса $r$. Согласно постулатам Бора орбитальный момент импульса каждого электрона равен целому числу постоянных Планка $\hbar$.

1. Напишите соотношение, которому должны удовлетворять импульс $p$ и радиус орбиты $r$ каждого электрона для основного состояния атома гелия; (1 балл)
2. Напишите выражение для потенциальной энергии системы как функцию $r$; (2 балла)
3. Определите выражение для радиуса орбиты электронов $r$ и найдите его численное значение; (2 балла)
4. Определите выражение для полной энергии основного состояния атома гелия и найдите ее численное значение; (1 балл)
5. Определите выражение для энергии однократной ионизации атома гелия и найдите ее численное значение; (2 балл)
Атомы могут ионизироваться под действием внешнего давления. Такое явление происходит в центрах массивных планет.
6. Оцените давление, при котором произойдет ионизация атомов гелия; (2 балла)