4-я Жаутыковская олимпиада (2008), теоретический тур

Данная задача состоит из четырех независимых частей.
1А (2 балла).

В закрытом вертикальном цилиндрическом сосуде радиуса $R$ полностью заполненном водой находится однородный сплошной шар радиуса $R/2$. Сосуд раскрутили вокруг его вертикальной оси до угловой скорости $\omega$. Найдите силу давления шара на боковую поверхность цилиндра. Плотность воды — $\rho_0$, плотность материала шара — $\rho$.
1В (3 балла). Теплоемкости тел могут зависеть от температуры (например, при низких температурах). Два одинаковых тела, удельные теплоемкости которых зависят от температуры $t$ по закону $$c(t)=c_0(1+\alpha t),$$ (где $c_0$ и $\alpha$ — известные постоянные величины) приведены в тепловой контакт. Начальные температуры тел равны $t_1$ и $t_2$. Определите установившуюся температуру тел. Потерями теплоты пренебречь.
1C (2 балла).

Найдите период малых радиально симметричных колебаний кольца, состоящего из $n$ одинаковых коротких невесомых пружинок жёсткостью $k$, соединяющих $n$ точечных масс $m$ (см.Рис.1). Считайте, что $n\gg 1$.
1D (3 балла).

Тонкая плоско-параллельная стеклянная пластина с показателем преломления $n=1,5$ разрезана на две части, одна из которых представляет собой бипризму Френеля с малым преломляющим углом $\gamma=0,1$ рад. (см.Рис.2) Пластина облучается мощным пучком монохроматического излучения с интенсивностью $I=10$ кВт/см$^2$. Свет падает перпендикулярно плоскости пластины площадью $S=10$ см$^2$. Какую силу $F$ необходимо приложить, чтобы раздвинуть разрезанные части пластины так, чтобы между ними образовался небольшой зазор постоянной толщины? Потерями света в стекле и отражением на границах пренебречь.