Западно-Китайская математическая олимпиада, 2018 год

Даны натуральное число $n\ge 2$ и последовательность положительных действительных чисел $a_{1} \ge a_{2} \ge \ldots \ge a_{n} $. Докажите, что $\left(\sum _{i=1}^{n}\dfrac{a_{i} }{a_{i+1} } \right)-n\le \dfrac{1}{2a_{1} a_{n} } \sum _{i=1}^{n}\left(a_{i} -a_{i+1} \right)^{2} ,$ где $a_{n+1} =a_{1} $.

Комментарий/решение

Замена : $x_{k}=a_{k}-a_{k+1} \geq 0$ где $k=1,2...,n-1$ то после преобразований, а именно если расписать левую часть $\dfrac{a_i}{a_{i+1}} -1 = \dfrac{a_{i}-a_{i+1}}{a_{i+1}} \geq 0$ и сокращая по итогу $a_{1}$ получаем что требуется доказать: $$\sum_{k=1}^{n-2} \frac{x_k(x_1 + x_2 + \cdots + x_k)}{a_{k+1}} \le \frac{\sum_{1 \le i \le j \le n-2} x_i x_j}{a_n}$$

что очевидно верно, так как $\dfrac{1}{a_{k+1}} \leq \dfrac{1}{a_{k}}$