Республиканская олимпиада по физике 2017, 11 класс, теоретический тур

Заряженные частицы в магнитных полях (10,0 балла)
Часть 1. В природе существует материя и антиматерия, то есть у каждой частицы существует античастица. Например, для электрона античастицей является позитрон, который имеет все характеристики электрона, за исключением электрического заряда, который положителен и равен по абсолютной величине заряду электрона.
1.1 Атом позитрония состоит из электрона и позитрона, вращающихся по круговым орбитам. Полная энергия позитрония в системе центра масс составляет $E=-3,6$ эВ. Найдите и рассчитайте угловую частоту вращения частиц $\omega_0$ и расстояние $r_0$ между ними.
1.2 Атом позитрония помещают в однородное магнитное поле с индукцией $B=150$ Тл, направленной перпендикулярно плоскости их орбит, которые и в этом случае остаются круговыми. Считая при этом, что расстояние между частицами осталось неизменным, найдите и вычислите относительное изменение угловой частоты вращения частиц $(\omega-\omega_0)/\omega_0$.
Часть 2. Назовем семейством траекторий частицы совокупность всех круговых орбит разного радиуса с совпадающим общим центром и одинаковым моментом импульса относительно него. Истинная траектория частицы называется устойчивой, если при небольшом ее возмущении в пределах семейства, к которому она относится, возникают силы, старающиеся восстановить начальную траекторию. Если восстанавливающая сила равна нулю, то такая траектория называется безразличной по отношению к малым возмущениям, а если суммарная сила старается дальше изменить радиус траектории в семействе, то она называется неустойчивой.
2.1 Электрон вращается по круговой орбите в однородном магнитном поле. Докажите, является ли устойчивой или неустойчивой круговая орбита электрона.
2.2 Электрон вращается в магнитном поле по круговой орбите радиуса $r_0$ и имеет момент импульса $L$ относительно ее центра. Известно, что индукция магнитного поля вблизи орбиты линейно зависит от расстояния до ее центра, то есть $B=C_1 r+ C_2$, и что траектория электрона является безразличной по отношению к малым возмущениям. Определите константы $C_1$ и $C_2$.
2.3 Электрон вращается в магнитном поле по круговой орбите и имеет момент импульса $L$ так, что любая круговая траектория из семейства траекторий является безразличной по отношению к малым возмущениям. Найдите зависимость индукции магнитного поля от расстояния до центра орбиты $r$.
Часть 3. Частицу c удельным зарядом $\gamma$ помещают в вертикальное гравитационное поле с ускорением свободного падения $g$ и горизонтальное магнитное поле с индукцией $B$. В начальный момент времени частица отпускается из состояния покоя, а ее дальнейшая траектория представляет собой периодически повторяющийся участок, называемый циклоидой.
3.1 Найдите максимальную высоту $h$, на которую опускается частица относительно начального положения.
3.2 Найдите шаг $s$ циклоиды, то есть расстояние между двумя соседними точками останова.
Часть 4. В вершинах равностороннего треугольника со стороной $a_0$ удерживаются три одинаковых частицы с зарядом $q$ и массой $m$.
Система находится в однородном магнитном поле индукции $B$, перпендикулярном плоскости треугольника. Заряды одновременно отпускают.
4.1 Найдите максимальное расстояние $r_{\max}$ между двумя частицами в процессе движения.
4.2 Найдите максимальный момент импульса $L_{\max}$ системы в процессе движения.