Республиканская олимпиада по физике 2016, 11 класс, теоретический тур

Что за одноатомный газ? (10,0 балла)
Стенки цилиндрического сосуда изготовлены из непроводящего материала, а дно и подвижный поршень сделаны из проводника, так что вместе они образуют плоский конденсатор с площадью поперечного сечения $S=100$ см$^2$. Между дном и поршнем находится одноатомный газ с начальной температурой $T_0=100$ К и массой $m=1$ г. Начальное расстояние от поршня до дна сосуда составляет $x_0=5$ мм, начальные заряды поршня и дна равны $\pm q=85,7$ мкКл, масса подвижного поршня равна $M=1$ кг, универсальная газовая постоянная — $R=8,31$ Дж/(моль$\cdot$К). Сосуд теплоизолирован от окружающей среды, а его теплоемкостью можно пренебречь. Подвижный поршень через ключ $K$ можно соединять с землей, изменяя его заряд. Пусть в начальный момент времени ключ $K$ разомкнут.

1. Найдите давление газа в сосуде $p_0$;
2. Какой газ находится в сосуде?
3. Рассчитайте теплоемкость газа под поршнем и выразите ее в единицах универсальной газовой постоянной $R$;
4. До какой температуры $T$ надо нагреть газ, чтобы расстояние между поршнем и дном сосуда увеличилось вдвое?
5. Какое количество теплоты $Q$ надо сообщить газу, чтобы расстояние между поршнем и дном сосуда увеличилось вдвое?
6. Вычислите частоту $\omega$ малых колебаний поршня возле положения равновесия $x_0$;
Систему вернули в начальное положение и ключ $K$ замкнули так, что заряд подвижного поршня практически уменьшился вдвое.
7. Найдите максимальную скорость $\vartheta_{\max}$ подвижного поршня;
Систему вернули в начальное положение $x_0$ и зарядили поршень до исходного заряда $+q$. Затем ключ $K$ вновь замыкают, но теперь заряд стекает в землю постепенно.
8. Поршень начал двигаться с постоянным ускорением $a=1$ м/с$^2$. При этом в начальные моменты времени заряд, который стек с поршня, зависит от времени по закону $$q(t)=C_1+C_2 t^2,$$ где $C_1$ и $C_2$ — некоторые постоянные.
Найдите и рассчитайте $C_1$ и $C_2$.

Подсказка: при $x\ll1$ и произвольных $\alpha$ справедлива формула $$(1+x)^\alpha \thickapprox 1+\alpha x.$$