Республиканская олимпиада по физике 2016, 10 класс, теоретический тур

Что такое стабилизатор? (10,0 балла)
Стабилизатором напряжения называется электронное устройство, напряжение на котором практически не изменяется при варьировании электрического тока в некотором достаточно широком интервале. Для простоты рассмотрим полупроводниковый стабилизатор напряжения, представляющий собой цилиндрический стержень из кремния радиуса $r=1\times 10^{-3}$ м и длины $l=2\cdot 10^{-1}$ м. Стержень находится в воздухе, температура которого постоянна и равна $t_0=0^{\circ}$ С. Количество теплоты, которое отводится воздухом с единицы площади поверхности стержня в единицу времени, определяется законом Ньютона-Рихмана $$q=\alpha(t-t_0 ),$$ где $\alpha$ — коэффициент теплоотдачи, $t$ — температура поверхности стержня.

Таблица физических характеристик кремния, необходимых для решения задачи.

Удельное сопротивление при $0^{\circ}$ С $\rho_0=1,57\cdot 10^{-5}$ Ом$\cdot$м Температурный коэффициент сопротивления $\gamma=-1,70\cdot 10^{-3}$ $^{\circ}$ С$^{-1}$ Коэффициент теплоотдачи $\alpha=50$ Вт/(м$^2$ $\cdot$ С) Внимание! В задаче рассматривается стационарный режим работы стабилизатора напряжения после установления теплового равновесия, поэтому рассчитывать временные характеристики процессов не требуется!

1. Рассчитайте значение сопротивления стержня $R_0$ при температуре $0^{\circ}$ С;
2. Запишите формулу зависимости сопротивления стержня $R$ от его температуры $t$. Рассчитайте значение сопротивления стержня при $t=100^{\circ}$ С;
3. Мощность теплоотдачи $P_0$ стабилизатора определяется формулой $P_0=At$. Рассчитайте значение коэффициента.
4. Получите зависимость температуры стержня $t$ от напряжения $U$ на нем. Постройте график этой зависимости так, чтобы напряжение менялось в интервале от 0 до 3 В;
5. Из полученного выше выражения следует, что существует максимальное напряжение $U_{\max}$, при котором может работать данный стабилизатор. Найдите $U_{\max}$ и рассчитайте его;
6. Постройте вольтамперную характеристику стабилизатора, то есть график зависимости приложенного к нему напряжения $U$ от протекающей силы тока $I$ так, чтобы сила тока изменялась в интервале от 0 до 10 А;
7. При малых напряжениях на стабилизаторе оно оказывается пропорциональным силе тока $I$, то есть $U=R_{\text{eff}} I$. Определите коэффициент пропорциональности $R_{\text{eff}}$ этой зависимости;
8. 8. Найдите напряжение на стабилизаторе при силе тока, стремящейся в бесконечность, то есть $I\to \infty$;
9. 9. Постройте вольтамперную характеристику цепи, состоящей из стабилизатора и подключенного к нему параллельно резистора сопротивлением $R_1=10$ Ом. График постройте на том же рисунке, что и в пункте 6. Построения обоснуйте;
Стабилизатор в рассмотренной выше модели не может стабилизировать напряжение. У реального стабилизатора при достаточно больших температурах зависимость удельного сопротивления от температуры перестает быть линейной. Реальная зависимость $\rho(t)$ приведена на графике ниже.



Зависимость удельного сопротивления кремния от температуры.
10. Используя приведенную реальную зависимость $\rho(t)$, постройте вольтамперную характеристику реального стабилизатора.
11. Найдите из графика и запишите численное значение напряжения стабилизации $U_{st}$ стабилитрона, которое не зависит от силы протекающего через него тока.
12. Укажите диапазон изменения силы тока $I_{\min},I_{\max}$, в котором стабилизатор стабилизирует напряжение в цепи. Необходимо, чтобы в этом диапазоне напряжение изменялось не более чем на $3,3\%$.