Республиканская олимпиада по физике 2014, 11 класс, теоретический тур

Бейсызық жіп (10.0 ұпай)
Жіп бастапқы $l_0$ ұзындығынан анағұрлым көп болатын, $l$ ұзындығына дейін созыла алатын резеңкеден жасалған. Осы тәрізді резеңкенің толық көлемі сақталады.
А) Деформацияланған күйіндегі резеңкенің $S$ көлденең қимасының ауданын оның $l$ ұзындығы мен оның бастапқы $l_0$, $S_0$ өлшемдері арқылы өрнектеңіз;
Б) Резеңкені аз деформациялаған кездегі керілу күші $F$ және оның ұзаруы $x$ Гук заңымен $F=k_0x$ байланысқан, мұндағы $k_0=E_0S_0/l_0$ бастапқы қатаңдыққа тең, ал $E_0$ — Юнг модулі деп аталады. Резеңкені көп деформацияланғанда $l\gg l_0$. Гук заңы орындалмайды, оның орнына $F(l)=a+\frac{b}{l}$ заңы орындалады. $a$ және $b$ тұрақтыларын $l_0,S_0$ және $E_0$ арқылы өрнектеңіз;
В) Қандай-да бір күш арқылы резеңке $l$ ұзындыққа дейін соғылған деп есептейік. Керілу күшінің $\Delta F$ аз ғана өзгерісі оның ұзындығының $\Delta l\ll l$ аз ғана өзгеруіне әкеледі. $\Delta F$-ті $l,l_0,E_0$ және $\Delta l$ арқылы өрнектеңіз;
Г) Резеңкенің бір ұшына бір кішкентай дене бекітілген деп есептейік және де жалпы қарастырып отырған жүйеміз екінші ұшына қатысты айналысқа келтірілген делік. Дененің қозғалысы айналмалы деп ескеріп, резеңкенің $l$ ұзындығын $l_0$, $S_0$, $E_0$ және дененің $K$ кинетикалық энергиясы арқылы өрнектеңіз;
Д) Алдыңғы пункта қарастырған дененің айналмалы қозғалысының кішкентай ауытқуын сараптайық. Жүйе қозғалысын оның ұзындығының $r(t)=l(t)-l(0)$ өзгерісімен, дененің $\vartheta_{r}(t)$ радиальды және $\vartheta_{t}(t)$ тангенциальды жылдамдықтарының (бұл жылдамдықтың компоненталары сәйкесінше параллель және перпендикуляр резинкалар) өзгерістерімен сипаттайтын боламыз. Алғашқы шамаларды $L=l(0)$, $V_{r}=\vartheta_{r}(0)$ және $V_{t}=\vartheta_{t}(0)$ деп белгілеп аламыз. Өзара $r(t)$, $\vartheta_{r}(t)$ және $\vartheta_{t}(t)$-ларды бір бірімен байланыстыратын екі теңдеу жазыңыз. Теңдеулерде келесі шамаларды пайдаланыңыз: дененің массасы $m$, және де $L$, $V_{r}$, $V_{t}$, $l_0$, $S_0$, $E_0$.
Е) $r\ll l$ деп есептеп, $m,L,V_r,V_t,l_0,S_0,E_0$ шамалары арқылы өрнектелетіндей етіп $r(t)$ және $\vartheta_r(t)$ арасындағы қатынасты табыңыз. Аздаған осцилляция $r(t)$ кезіндегі периодты $T$ табыңыз. $L\gg l_0$ кезіндегі $T$ үшін өрнекті ықшамдаңыз. Ескерту. Сізге келесі формулалар керек болуы мүмкін:
$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2$, егер $x\ll1$ болса,
$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}$, егер $x\ll1$ болса,
$\int \frac{dx}{x}=\ln x+C$, мұндағы $C$ — қандай-да бір тұрақты.