Республиканская олимпиада по физике 2013, 11 класс, теоретический тур

(5.0 балла)
В данной задаче рассматривается упрощенная модель электромагнитного излучения, запертого внутри куба со стороной $L$. Электрическое поле внутри куба имеет пространственную зависимость $E(x,y,z)=E_0\sin(k_{x}x)\sin(k_{y}y)\sin(k_{z}z)$, при этом считается, что одна из вершин куба находится в начале координат, а стороны куба направлены вдоль осей $x,y$ и $z$ соответственно. Пусть $h$ — постоянная Планка, $k_{B}$ — постоянная Больцмана, $c$ — скорость света.
а) Электрическое поле должно быть равно нулю на всех гранях куба. Каковы возможные значения $k_{x},k_{y}$ и $k_{z}$?
б) В этой модели каждому возможному набору значений $(k_{x},k_{y}$,$k_{z})$ соответствует одно так называемое квантовое состояние. Все возможные квантовые состояния могут быть изображены точками в так называемом пространстве состояний, представляющем собой воображаемое пространство с введенными декартовыми координатами $k_{x},k_{y}$ и $k_{z}$. Сколько состояний $N$ находится в некотором объеме $s$ пространства состояний? $s$ настолько велико, что дискретностью квантовых состояний можно пренебречь;
в) Каждому квантовому состоянию может соответствовать фотон с частотой $\omega=c|k|$, где $|k|=\sqrt{k_{x}^2+k_{y}^2+k_{z}^2}$. Пусть температура системы равна $T$. Известно, что ни один фотон не может иметь энергию, большую чем $k_{B}T$. Определите форму и размеры области в пространстве состояний, которая может быть занята фотонами;
г) Пусть каждое возможное квантовое состояние занято одним фотоном. Найдите полную энергию всех фотонов в кубе. Считайте, что температура настолько высока, что внутри куба находится очень большое число квантовых состояний. Подсказка: надо разделить пространство состояний на сферические слои.