Республиканская олимпиада по физике 2013, 11 класс, теоретический тур

(5,0 ұпай)
Бұл есепте, қабырғасы $L$ кубтың ішіне шоғырланған электромагниттік сәуле шығарудың оңайлатылған моделі қарастырылады. Кубтың ішіндегі кубтың электр өрісі кеңістіктік тәуелділікпен анықталады $E(x,y,z)=E_0\sin(k_{x}x)\sin(k_{y}y)\sin(k_{z}z)$. Бұл кезде кубтың бңр төбесі координаттар басында орналасады деп есептеледі, ал куб қабырғалары сәйкесінше $x,y$ және $z$ остерінің бойымен бағытталған. $h$ — Планк тұрақтысы, $k_B$ — Больцман тұрақтысы, $c$ — жарық жылдамдығы.
а) Кубтың барлық қырларындағы электр өрісі нольге тең болуы қажет. $k_x,k_y$ жэне $k_z$ шамаларының мүмкін мәндері қандай?
б) Бұл модельде $(k_x,k_y,k_z)$ мәндерінің әрбір мүмкін болатын жиынтығына бір кванттық күй сәйкес келеді. Барлық мүмкін кванттық күйлер, енгізілген декарттық координаттары $k_x,k_y$ және $k_z$ болатын жорамал кеңістік болып табылатын кеңістік күйде нүктелермен кескінделеді. Кеңістік күйдің қандай да бір $s$ көлемінде қанша $N$ күй бар? $s$ өте үлкен болғандығы соншалық, онымен салыстырғанда кванттық күйлердің дискреттілігін ескермеуге болады.
в) Әрбір кванттық күйге жиілігі $\omega=c|k|$ фотон сәйкес келуі мүмкін, мұндағы $|k|=\sqrt{k_{x}^2+k_{y}^2+k_{z}^2}$. Жүйенің температурасы $T$-ға тең болсын. Бірде-бір фотон $k_{B}T$-дан көп энергияға ие болуы мүмкін емес екендігі белгілі. Күйлер кеңістігінде фотондармен қамтылған (бос емес) аймақтың өлшемдері мен пішінін анықтаңыз.
г) Әрбір мүмкін кванттық күй бір фотонмен толған болсын. Кубтағы барлық фотондардың толық энергиясын табыңыз. Температураның жоғары болғандығы соншалық, кубтың ішінде кванттық күйлердің өте көп саны орналасқан. Нұсқау: күйлер кеңістігін сфералық қабаттарға бөлу қажет.