Республиканская олимпиада по физике 2013, 11 класс, теоретический тур

(8.0 балла)
С помощью кабеля питания высоковольтной линии передается электрический ток синусоидальной формы частотой $\nu=60$ Гц. Нагрузка работает при действующем значении напряжения $U_0=500$ кВ и потребляет мощность $P=1000$ МВт. В данной задаче рассматривайте только электрический ток, текущий в одном из двух возможных направлений и полностью пренебрегайте емкостью и индуктивностью между кабелем и землей. Магнитная постоянная равна $\mu_0=4\pi\times10^{-7}$ Гн/м. Предположим, что нагрузка представляет собой группу зданий, которые можно рассматривать как обычное сопротивление.

1. Каково действующее значение электрического тока $I$ в кабеле питания высоковольтной линии передач?
2. Кабель, имеющий диаметр $d=3$ см и длину $l=500$ км, изготовлен из алюминия с удельным сопротивлением $\rho=2.8\times10^{-8}$ Ом $\cdot$ м. Какая мощность $P_0$ теряется в кабеле питания высоковольтной линии передач?

Продвинутый фермер, живущий вблизи линии передач, подумал, что он сможет извлечь из кабеля электрическую энергию, используя явление электромагнитной индукции. Фермер изготовил прямоугольный контур длины $a$ и ширины $b Найдите индукцию магнитного поля на расстоянии $r$ от кабеля;
3. Найдите аналитическое выражение для э.д.с. индукции, наводимой в контуре кабелем;
4. Пусть $a=5$ м, $b=2$ м и $h=100$ м. Сколько витков $N$ должен содержать контур для того, чтобы в нем индуцировалась действующее значение э.д.с., равное $\varepsilon_{\sigma}=120$ В?

В качестве нагрузки к группе зданий подключается завод, на котором работает большое количество электродвигателей. Оказалась, что потребляемая мощность не изменилась, а сам завод можно рассматривать как катушку индуктивности $L=0,25$ Гн, подключенную параллельно к группе зданий.
5. Возросла ли мощность, теряемая в кабеле питания? Ответ обоснуйте;
6. Энергетическая компания, которой принадлежат сети, решила сделать ситуацию, какой она была до подключения завода. Для этого они параллельно заводу подключили конденсатор. Какова его емкость $C$?