Республиканская олимпиада по физике 2011, 10 класс, теоретический тур

Өткізгіш сфера мен жазықтық арасындагы әсерлесу күші (8 ұпай)
Атомдық микроскопияда кездесетін қиын мәселенің бірі, радиусы $R$ өткізгіш сфера мен $V$ потенциал және потенциалы нольге тен жазықтық арасындағы күшті анықтау болып табылады. Денелер арасындағы арақашықтық $h_{0}$ (суретті қара). Күшті табу үшін, айталық шағылу әдісін біртіндеп қолданамыз.

1. Сфера беті потенциалы $V$ эквипотенциал бет болатындай етіп, $q_{0}$ зарядын сфераға орналастырамыз. Өткізгіш жазықтықтың бар екендігін ескермей, $q_{0}$-ды $V$ және $R$ арқылы өрнектеңіз;
2. Өткізгіш жазықтықтағы $q_{0}$ зарядтың кескінінің $q_{1}$ зарядын және $h_{1}$ орналасу күйін анықтаңыз;
3. $q_{1}$ зарядының бар болуы сфераның эквипотенциалдығын бұзады. Бұл жағдайды сфераның ішіне баска $q_{2}$ зарядты орналастыру арқылы шешуге болады, бірақ бұл кезде $q_{0}$, $q_{1}$ және $q_{2}$ зарядтарының қорытқы үлесі өткізгіш сфераның эквипотенциалдығын қайта калпына келтіруі қажет. $q_{2}$ заряд шамасын және оның $h_{2}$ күйін анықтаңыз;
4. $q_{2}$ зарядының кескінін табу үшін b) пунктін қайталаңыз (оны $q_{4}$ деп белгілеңіз), одан кейін $q_{3}$ зарядының кескінін анықтау үшін с) қайталаңыз (оны $q_{4}$ деп белгілеңіз). $h_{2n}$ және $h_{2(n+1)}$, $q_{2n}$ және $q_{2(n+1)}$, $q_{2n+1}$ және $q_{2n}$, $n=0,1,2...$ арасындағы ортақ байланысты анықтаңыз;
5. Өткізгіш сфера мен жазықтық арасындағы қорытқы әсерлесу күші шексіз қатар ретінде анықтаңыз;
6. Алдыңғы е) пунктіндегі күш $V=V_{0}$, $R=1.0\times 10^{-8}$ м, және $h_{0}=5.0\times10^{-8}$ м мәндерінде $1,1\times10^{-12}$ Н деп болжап, күшті $V=2V_{0}$, $R=1$ м, және $h_{0}=5$ м мәндерінде анықтаңыз;
7. $R/h_{0}=1/51$ екені берілген. Алдыңғы (е) пунктіндегі күшті $\sim 1\%$-ға дейінгі дәлдікпен анықтау үшін, қатардың қанша мүшесін алу қажет.