Областная олимпиада по математике, 1999 год, 11 класс

Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник, $H$ — его ортоцентр. Обозначим через $M$ середину отрезка $BH$, а через $N$ проекцию точки $H$ на биссектрису внутреннего угла $B$. докажите, что прямая $MN$ делит сторону $AC$ пополам.

Комментарий/решение

  Пусть $E$  середина $AC$, $D$ и $F$ основание высот из $A$ и $B$  соответственно.

Заметим что $EF$=$ED$, $NF=ND$ и $MF=MD$ значит $M,N,F$ лежат на серединном перпендикуляре к $DF$

Не заметим. Откуда берутся эти равенства?

$A_{1}$ ,$C_{1}$ основания высот из $A$ и $B$, а $X$ - центр $AC$.

$N$ лежит на окружности с центром в $M$, из этого получаем:

$$MN = MC_{1} = MA_{1}$$

$\angle NMC_{1}$ опирается на дугу $$NC_{1} \implies \angle NMC_{1} = 2 \angle NBC_{1}$$

$\angle NMA_{1}$ опирается на дугу $$NA_{1} \implies \angle NMA_{1} = 2 \angle NBA_{1}$$

Так как NB лежит на биссектрисе $$ \implies \angle NMC_{1} = \angle NMA_{1} \implies \triangle NMC_{1} = \triangle NMA_{1}$$ откуда следовательно $$NC_{1} = NA_{1}$$

Также $A$,$C$,$A_{1}$,$C_{1}$ лежат на окружности с центром в $X$ ,откуда получаем $$XC_{1} = XA_{1}$$

Из этого очевидно что $$M,N,X$$ лежат на одной прямой.