Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 11 сынып

Келесі теңдіктерді қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын тап: $f\left( xf\left( x \right)+f\left( y \right) \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+y$ және $f\left( 0 \right)=0$.

Комментарий/решение

Ответ :$f (x)=x$

Так как это равенство должно выполняться при всех $x,y$ ,то оно также выполнится и при $y=0$ . Тогда $f (xf (x)+0)=f^2(x)+0$ то есть $f (xf (x))=f^2 (x)$. Решение - линейная функция, то есть $f (x)=x$

Проверка. $$f (xf (x)+f (y)=xf (x)+f (y)=x^2+y$$ . $$f^2 (x)+y=x^2+y$$

Решение выше не строгое.

$$P(x,y): f(xf(x)+f(y))=f^2(x)+y$$

$$P(0,y): f(f(y))=y, (1)$$

Пусть $f(x)=a$, тогда $x=f(f(x))=f(a)$ из $(1)$.

$$P(x,y): f(af(a)+f(y))=a^2+y$$

$$P(a,y): f(af(a)+f(y))=f^2(a)+y$$

Следовательно: $a^2+y=f^2(a)+y \Rightarrow f(a)=a$ или $f(a)=-a$. Легко убедится, что из двух вариантов подходит лишь первый.