Областная олимпиада по физике 2012, 10 класс, теоретический тур

В очень большом цилиндрическом сосуде с поршнем находится двухатомный газ при некотором давлении. В сосуд помещается сферическая оболочка радиуса $R_0$, внутри которой находится тот же самый газ при той же температуре (рис.2). Эластичный материал оболочки таков, что он не создает дополнительного давления и очень плохо проводит тепло. Резким нажатием на поршень давление газа под ним увеличивают в два раза. Чему равен радиус сферической оболочки $R$, сразу после нажатия на поршень? Чему равен радиус сферической оболочки $R_2$ через достаточно большой промежуток времени? (8 баллов)

Комментарий/решение

Дано:

$i = 5$

$R_0$

$p_2 = 2p_1$

$R-? , R_2 - ?$

Решение:

Так как оболочка шара практически не проводит тепло, мы можем пренебречь теплообменом, значит процесс внутри шара адиабатический, плюс ко всему его оболочка не создает доп. давление, можно пренебречь его оболочкой, значит если давление в самом цилиндре изменился в два раза, то и давление в шаре изменится в два раза.

Для этого случая справедлива формула:

$ Q \approx 0, $

$pV^{\gamma} = const$, где $\gamma = \dfrac{i + 2}{i} = \dfrac{7}{5}$

$p_1 {V_1}^{\frac{7}{5}} = p_2 {V_2}^{\frac{7}{5}}$

$p_1 {V_1}^{\frac{7}{5}} = 2p_1 {V_2}^{\frac{7}{5}}$

$V_1 = \dfrac{4}{3} \pi {R_0}^{3}$

$V_2 = \dfrac{4}{3} \pi R^3$

$ {(\dfrac{4}{3} \pi R_0^3)}^{\frac{7}{5}}$ = $2 {(\dfrac{4}{3} \pi R^3)}^{\frac{7}{5}}$ $| \cdot 1^{\frac{5}{7}}$

$R_0^3 = 2^{\frac{5}{7}} R^3$

$ \sqrt[3]{ R_0^3}$ =$ \sqrt[3]{2^{\frac{5}{7}}}$ $\cdot \sqrt[3]{R^3}$

$R_0 = 1.17R$

$R \approx 0,85 R_0$