Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 10 сынып

$\left( 2k+1 \right)\left( 2k+1 \right)$ шақпақты кестенің әрбір шақпағына бутін сандар жазылған. Әр мезетте әр шақпактағы санның орнына көршілес шакпақтардағы сандардың қосындысы жазылады (ортақ қабырғалары бар шақпактарды кершілес шақпақтар деп атаймыз). Егер де бастапқы мезетте кестедегі сандардың ішінде жұп сандар кездессе, бір мезетте тек тақ сандардан тұратын кестенің шығуы мүмкін бе?

Комментарий/решение

Жауабын ұзақ уақыт бойы жазып ем... жоғалып кетті ғой. Жақсы қайтадан жазайын... бірақ қысқа қып.

Есеп шарты бойынша біз қабырғасы 2к+1 ге тең квадратқа иеміз. Бұның ішіндегі сандарды нөмірлеп шығайық. {а1,а2,а3.... а(2к+1)^2} бұндағы а-ның жанындағы сандар индекстер, яғни нөмірлері. Бұлар жұп сандар мен тақ сандарда бола алады. Енді тек тақ саннан құралған жиынды осы шақпаққа орналастырайық. Олар {b1, b2, b3,....b(2k+1)^2}.

Енді талдаймыз. b1=a2+a(2k+2) b1 тақ сан болу үшін бұл екі санның біреуә міндетті түрде тақ, біреуі міндетті түрде жұп болу керек. а2-ні жұп сан деп алайық. b2=a1+a(2k+3)+a3. Бұл жағдайда не екеуі жұп сан, біреуі тақ сан болу керек немесе 3еуіде тақ сан болу керек. Екінші вариантты қабылдаймыз. Дәл осылай келсі сандарды талдаймыз.Осылайша 1ші қатардың тақ-жұп-тақ-жұп-тақ заңдылығы бойынша, ал екінші қатардың тек тақ сандардан құралғанын біле аламыз. Талдауды жалғастыра отырып кестеміз мына күйге келеді. Сонымен бәрін тақ сан болатындай толтыра аламыз.