Математикадан облыстық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 10 сынып

${{d}_{1}}$ және ${{d}_{2}}$ сандары $n$ санының бөлгіштері (${{d}_{1}}{{d}_{2}}\ne n$). Егер ЕҮОБ$\left( {{d}_{1}},n/{{d}_{2}} \right)=$ЕҮОБ$\left( {{d}_{2}},n/{{d}_{1}} \right)$ болса, онда ${{d}_{1}}={{d}_{2}}$ екенін дәлелде. ЕҮОБ — ең үлкен ортақ бөлгіш.

Комментарий/решение

d1>d2

болған кезде, ЕҮОБ1> ЕҮОБ2

Сәйкесінше, d1<d2

болған кезде, ЕҮОБ1< ЕҮОБ2.

Ал d1=d2

ЕҮОБ1= ЕҮОБ2 болу керек.

Есеп шартында ЕҮОБ1= ЕҮОБ2 деп көрсетілген болатын. Сол себептен d1=d2.

d1*d2≠n => n=d1*d2*k

НОД(d1, n/d2)=НОД(d2, n/d1) => НОД(d1, d1*k)=НОД(d2, d2*k) => d1=d2