Математикадан аудандық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 9 сынып

$ABCD$ квадраты берілген. $AC$ және $BC$ кесінділерінен сәйкесінше, кесінді ұштарымен беттеспейтін, $M$ және $N$ нүктелері алынған. Егер $MN=MD$ екені белгілі болса, $MDN$ бұрышының мәнін табыңыз.

Комментарий/решение

Построим окружность $\omega (M; MD)$, тогда $M \in AC$, $AC \perp AD$, $D \in \omega$, значит $B \in \omega$.

$\angle NMD$ - центральный угол, $NBD$ - вписанный угол, тогда $\angle NMD= 2 \angle NBD = 90^{\circ}$. Значит, $\triangle NMD$ - прямоугольный равнобедренный, тогда $\angle MDN = 45^{\circ}$.

кодты корсету/жасыру

Есепті шығару

1) NCД үшбұрышына сырттай шеңбер сызсақ, онда ол шеңбер АС диагоналимен белгілі бір М нүктесінде қиылысады. Сонда $\angle NCM = \angle MDN$, ал $\angle NCM = 45^\circ$ болғандықтан, ізделінді $\angle MDN = 45^\circ$ (3 - сурет).

2) $\angle MCD = \angle MND = 45^\circ$, ендеше $\triangle MND$ тікбұрышты әрі теңбүйірлі, яғни $MN = MD$ есеп шарты орындалады.

Жауабы: $\angle MDN = 45^\circ$.