Районная олимпиада по физике 2013, 9 класс, теоретический тур

Свободно падающее с некоторой высоты тело спустя некоторое время после начала падения находилось на высоте $h_1=1100$ м, а еще через время $\Delta t=10$ с — на высоте $h_2=120$ м над поверхностью земли. Найдите начальную высоту $h$, с которой падало тело. Ускорение свободного падения равно $g=9,8$ м/с$^2$. (5 баллов)

Комментарий/решение

Пусть начало координат на высоте $h$, оси направим вертикально вниз.

Получим систему

$$h-h_1=g\cdot \dfrac{(t_2-\Delta t)^2}{2}$$

$$h-h_2=g\cdot \dfrac{t_2^2}{2}$$

$$h=g\cdot \dfrac{t^2}{2}$$

Вычтем из первого уравнения второе

$$-h_1+h_2=\dfrac{g}{2}\cdot ((t_2-\Delta t)^2-t_2^2)=\dfrac{g}{2}\cdot (-2\cdot t_2\cdot \Delta t+(\Delta t)^2)$$

Выразим $t_2$

$$t_2=\dfrac{\dfrac{2}{g}\cdot (h_1-h_2)+(\Delta t)^2}{2\cdot \Delta t}$$

Из второго уравнения исходной системы выразим $h$

$$h=h_2+g\cdot \dfrac{t_2^2}{2}$$

Расчёт $t_2$

$$t_2=\dfrac{\dfrac{2}{9.81}\cdot (1100-120)+10^2}{2\cdot 10}=15[sec]$$

Расчёт $h$

$$h=120+9.81\cdot \dfrac{15^2}{2}=1222.5[m]$$