Районная олимпиада, 2000-2001 учебный год, 9 класс
Положительные числа a, b, c таковы, что a≥b≥c>0 и a+b+c≤1. Доказать, что a2+3b2+5c2≤1.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Есептің шарты бойынша: 1≥(a+b+c) және a≥b≥c>0. Келесі теңсіздіктегі 1-дің орнына (a+b+c)2 қойып мәндес теңсіздік аламыз: a2+3b2+5c2≤(a+b+c)2⇒a2+3b2+5c2≤a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac⇒2b2+4c2≤2ab+2bc+2ac⇒b2+2c2≤ab+bc+ac Сонымен қатар a≥b болғандықтан ab≥b2,b≥c және a≥c болғандықтан a+b≥2cab+bc+ac=ab+c(a+b)≥b2+2c2. Дәлелденді.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.