Районная олимпиада, 2000-2001 учебный год, 9 класс

Положительные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $a\geq b \geq c > 0$ и $a + b + c \le 1$. Доказать, что $a^2 + 3b^2 + 5c^2 \le 1$.

Комментарий/решение

$1\ge (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$ есеп шартын ескеріп $2ab$ -өрнегіндегі $a$-ны $b$-ға, $2bc+2ac$ -өрнегіндегі $a$-ны және $b$-ны $c$-ға алмастырсақ өрнек кемиді, онда $1\ge (a+b+c)^2\ge a^2+3b^2+5c^2$.

$ \text{ Есептің шарты бойынша: }1\geq ( a+b+c ) \text{ және } a\geq b \geq c>0 . \text { Келесі теңсіздіктегі 1-дің орнына } (a+b+c)^2 \text { қойып мәндес теңсіздік аламыз: }\\{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+5{{c}^{2}}\le (a+b+c)^2 \Rightarrow {{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+5{{c}^{2}}\le a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac \Rightarrow 2{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}\le 2ab+2bc+2ac \Rightarrow {{b}^{2}}+2{{c}^{2}}\le ab+bc+ac\\ \text{ Сонымен қатар } a\geq b \text{ болғандықтан }ab \geq b^2, \\ b\geq c \text{ және } a \geq c \text{ болғандықтан } a+b\geq 2c\\ ab+bc+ac=ab+c(a+b)\geq b^2+2c^2. \text{ Дәлелденді.}$