Районная олимпиада, 2000-2001 учебный год, 9 класс

В трапецию можно вписать окружность. Доказать, что окружности, построенные на ее боковых сторонах, как на диаметрах, касаются друг друга.

Комментарий/решение

Пусть $O_1, r_1$ и $O_2, r_2$ центры и радиусы окружностей, построенных на боковых сторонах как на диаметре; $a, b$ - основания трапеции. Тогда достаточно доказать, что $O_1O_2= r_1 + r_2.$ В то же время $O_1O_2$ является серединной линией трапеции $\Rightarrow O_1O_2 = \dfrac{a+b}{2}$. Так как трапеция описанная, имеем: $2 r_1+2 r_2 = a + b.$ Из этих двух условий получаем требуемое.