58-я Международная Математическая Oлимпиада Румыния, Клуж-Напока, 2018 год

$AB\cdot CD=BC\cdot DA$ орындалатын $ABCD$ дөңес төртбұрышы берілген. $\angle XAB=\angle XCD$ және $\angle XBC=\angle XDA$ болатын $ABCD$ ішінде $X$ нүктесі жатыр. $\angle BXA+\angle DXC=180^{\circ}$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Исполним инверсию в точке $X$ с любым радиусом, пусть точка $S$ переходит в точку $S^{\ast}$. Легко заметить, что $D^{\ast}A^{\ast}B^{\ast}C^{\ast}$ подобен $ABCD,$ при этом $$A^{\ast}B^{\ast}\cdot C^{\ast}D^{\ast}=B^{\ast}C^{\ast}\cdot D^{\ast}A^{\ast}$$

Значит в четырехугольнике $A^{\ast}B^{\ast}C^{\ast}D^{\ast}$, существует точка которая изогонально сопряжена $X$, откуда по известной лемме следует, что $\angle BXA + \angle DXC =180^{\circ}$ ч.т.д.