Processing math: 51%

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2018 жыл


f(x) және g(x) функциялары келесідей берілген: f(x)=1x+1x2+1x4++1x2018 және g(x)=1x1+1x3+1x5++1x2017. Барлық бүтін емес 0<x<2018 шартын қанағаттандыратын x саны үшін |f(x)g(x)|>2 теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Australia )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
6 года 10 месяца назад #

|f(x)g(x)|=|1x+1x2+1x4+...+1x2018(1x1+1x3+1x5+...+1x2017)|=

=|1x+(1x20181x1)+(1x20161x3)+...+(1x21x2017)|=

=|1x+2017x22019x+2018+2013x22019x+6048+...2015x22019+4034|=

=|1x+2017x22019x+2018+2013x22019x+6048+...+1x22019x+101010093x22019x+10081011...2015x22019x+4034|=

=|1x+2017x22019x+2018+2013x22019x+6048+...+1x22019x+10101009A(3x22019x+10081011+...+2015x22019x+4034B)|

x22019x+2018<x22019x+6048<...<x22019x+10101009A>1+5+9+...+2013+2017x22019x+10101009=5051009x22019x+10101009

x22019x+10081011>...>x22019x+4034B<3+7+...+2015x22019x+4034=1009504x22019x+4034B>1009504x22019x+4034

|f(x)g(x)|=|1x+AB|>|1x+5051009x22019x+101010091009504x22019x+4034|=h(x)>min

\min_{x\in(0,2018)}h(x)=?

\frac{505\cdot1009}{x^2-2019x+1010\cdot1009}-\frac{1009\cdot504}{x^2-2019x+4034}=Q \Rightarrow h(x)=\left|\frac{1}{x}+Q(x)\right|

Q(x)=\frac{505\cdot1009}{x^2-2019x+1010\cdot1009}-\frac{1009\cdot504}{x^2-2019x+4034}

x^2+2019x=z\Rightarrow Q=\frac{505\cdot1009}{z+1010\cdot1009}-\frac{1009\cdot504}{z+4034}

505=k\Rightarrow Q=\frac{k(2k-1)}{z+2k(2k-1)}-\frac{(2k-1)(k-1)}{z+2(4k-3)}=\frac{k(2k-1)(z+2(4k-3))-(2k-1)(k-1)(z+2k(2k-1))}{(z+2k(2k-1))(z+2(4k-3))}=

=\frac{(2k-1)\left( kz+2k(4k-3)-(k-1)z-2k(2k-1)(k-1)\right)}{(z+2k(2k-1))(z+2(4k-3))}=\frac{(2k-1)\left( z-4k^3+14k^2-8k \right)}{z^2+z(6k-6+4k^2)+4k(8k^2-10k+3)}

Qz^2+Qz(6k-6+4k^2)+4kQ(8k^2-10k+3)-(2k-1)z+(2k-1)(4k^3-14k^2+8k)=0

Qz^2+z\left(Q(6k-6+4k^2)-2k+1\right)+\left(4kQ(8k^2-10k+3)+(2k-1)(4k^3-14k^2+8k)\right)=0

D^2=\left(Q(6k-6+4k^2)-2k+1\right)^2-4Q\left(4kQ(8k^2-10k+3)+(2k-1)(4k^3-14k^2+8k)\right)\geq0

Q^2\left((6k-6+4k^2)^2-16k(8k^2-10k+3)\right)-2Q(2k-1)\left(2(4k^3-14k^2+8k)+(6k-6+4k^2)\right)+(2k-1)^2\geq0

k=505 \Rightarrow Q\geq \frac{1009\left(1009+12\cdot \sqrt{7070}\right)}{1015056}>2

|f(x)-g(x)|=h(x)=\left|\frac{1}{x}+Q(x)\right|>\left|\frac{1}{x}+2\right|>2