Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2018 жыл
Комментарий/решение:
|f(x)−g(x)|=|1x+1x−2+1x−4+...+1x−2018−(1x−1+1x−3+1x−5+...+1x−2017)|=
=|1x+(1x−2018−1x−1)+(1x−2016−1x−3)+...+(1x−2−1x−2017)|=
=|1x+2017x2−2019x+2018+2013x2−2019x+6048+...−2015x2−2019+4034|=
=|1x+2017x2−2019x+2018+2013x2−2019x+6048+...+1x2−2019x+1010⋅1009−3x2−2019x+1008⋅1011−...−2015x2−2019x+4034|=
=|1x+2017x2−2019x+2018+2013x2−2019x+6048+...+1x2−2019x+1010⋅1009⏟A−(3x2−2019x+1008⋅1011+...+2015x2−2019x+4034⏟B)|
x2−2019x+2018<x2−2019x+6048<...<x2−2019x+1010⋅1009⇒A>1+5+9+...+2013+2017x2−2019x+1010⋅1009=505⋅1009x2−2019x+1010⋅1009
x2−2019x+1008⋅1011>...>x2−2019x+4034⇒B<3+7+...+2015x2−2019x+4034=1009⋅504x2−2019x+4034⇒−B>−1009⋅504x2−2019x+4034
|f(x)−g(x)|=|1x+A−B|>|1x+505⋅1009x2−2019x+1010⋅1009−1009⋅504x2−2019x+4034|=h(x)>min
\min_{x\in(0,2018)}h(x)=?
\frac{505\cdot1009}{x^2-2019x+1010\cdot1009}-\frac{1009\cdot504}{x^2-2019x+4034}=Q \Rightarrow h(x)=\left|\frac{1}{x}+Q(x)\right|
Q(x)=\frac{505\cdot1009}{x^2-2019x+1010\cdot1009}-\frac{1009\cdot504}{x^2-2019x+4034}
x^2+2019x=z\Rightarrow Q=\frac{505\cdot1009}{z+1010\cdot1009}-\frac{1009\cdot504}{z+4034}
505=k\Rightarrow Q=\frac{k(2k-1)}{z+2k(2k-1)}-\frac{(2k-1)(k-1)}{z+2(4k-3)}=\frac{k(2k-1)(z+2(4k-3))-(2k-1)(k-1)(z+2k(2k-1))}{(z+2k(2k-1))(z+2(4k-3))}=
=\frac{(2k-1)\left( kz+2k(4k-3)-(k-1)z-2k(2k-1)(k-1)\right)}{(z+2k(2k-1))(z+2(4k-3))}=\frac{(2k-1)\left( z-4k^3+14k^2-8k \right)}{z^2+z(6k-6+4k^2)+4k(8k^2-10k+3)}
Qz^2+Qz(6k-6+4k^2)+4kQ(8k^2-10k+3)-(2k-1)z+(2k-1)(4k^3-14k^2+8k)=0
Qz^2+z\left(Q(6k-6+4k^2)-2k+1\right)+\left(4kQ(8k^2-10k+3)+(2k-1)(4k^3-14k^2+8k)\right)=0
D^2=\left(Q(6k-6+4k^2)-2k+1\right)^2-4Q\left(4kQ(8k^2-10k+3)+(2k-1)(4k^3-14k^2+8k)\right)\geq0
Q^2\left((6k-6+4k^2)^2-16k(8k^2-10k+3)\right)-2Q(2k-1)\left(2(4k^3-14k^2+8k)+(6k-6+4k^2)\right)+(2k-1)^2\geq0
k=505 \Rightarrow Q\geq \frac{1009\left(1009+12\cdot \sqrt{7070}\right)}{1015056}>2
|f(x)-g(x)|=h(x)=\left|\frac{1}{x}+Q(x)\right|>\left|\frac{1}{x}+2\right|>2
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.