Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2018 год

Даны три концентрические окружности радиусов 3, 4 и 5. Пересекающиеся хорды $AB$ и $CD$ окружности радиуса 5 касаются окружностей радиусов 3 и 4 соответственно. Докажите, что прямые $AC$ и $BD$ пересекаются под прямым углом.

Комментарий/решение

$O$ центр окружностей, найдя $AB=2 \cdot \sqrt{5^2-4^2} = 6, \ \ CD=2 \cdot \sqrt{5^2-3^2} = 8$ , пусть $G$ точка пересечения $DO$ с окружностью с радиусом $5$ и $GD=10$, тогда $CG = \sqrt{GD^2-CD^2} = \sqrt{10^2-8^2}=6$ то есть $AB=CG$ значит $\angle COG = \angle AOB$ тогда $\angle ADB + \angle DAC = \dfrac{\angle AOB + \angle COD}{2} = \dfrac{ \angle COG + \angle COD}{2} = \dfrac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$