Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 9 класс, 2018 год

Радиустары 3, 4 және 5-ке тең үш шоғырлас (центрлері ортақ) шеңберлер берілген. Радиусы 5-ке тең шеңбердің өзара қиылысатын $AB$ және $CD$ хордалары, сәйкесінше радиустары 3 және 4-ке тең шеңберлерді жанайды. $AC$ және $BD$ түзулері тік бұрыш жасап қиылысатын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$O $ центр окружностей, найдя $AB=2 \cdot \sqrt{5^2-4^2} = 6, \ \ CD=2 \cdot \sqrt{5^2-3^2} = 8$ , пусть $G$ точка пересечения $DO$ с окружностью с радиусом $5$ и $GD=10$, тогда $CG = \sqrt{GD^2-CD^2} = \sqrt{10^2-8^2}=6$ то есть $AB=CG$ значит $\angle COG = \angle AOB$ тогда $\angle ADB + \angle DAC = \dfrac{\angle AOB + \angle COD}{2} = \dfrac{ \angle COG + \angle COD}{2} = \dfrac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$