Математикадан аудандық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 10 сынып
a2, b2, c2 сандары арифметикалық прогрессия құрайды; a,b,c,a+b,b+c,a+c нөлге тең емес. 1b+c, 1a+c, 1a+b сандары да арифметикалық прогресиия құрайтынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
a2,b2,c2 сандары арифметикалық прогрессия құрағандақтан келесідей түрлендіру енгізейік:
a2=x,b2=x+d,c2=x+2d
a=√x,b=√x+d,c=√x+2d
Осыларды берілген өрнекке қойсақ:
1√x+d;√x+2d+1√x;1√x+√x+d.
өрнектің әр мүшесінің бөлімін иррационалдан құтқарсақ:
√x+2d−√x+dd;√x+2d−√x2d;√x+d−√xd. АП-ның a1+a32=a2 қасиетін пайдалансақ
√x+2d−√x+dd+√x+d−√xd=2⋅√x+2d−√x2d теңдігі орынды екенін көреміз. Сонымен берілген сандар да АП құрайды
b2−a2=c2−b2
(b−a)(b+a)=(c−b)(c+b)⇒
⇒b−ab+c=c−bb+a⇒b−a(b+c)(a+c)=c−b(b+a)(a+c)⇒
⇒b+c−a−c(b+c)(a+c)=c+a−b−a(b+a)(a+c)⇒1a+c−1b+c=1a+b−1a+c
b2−a2=c2−b2⇒1a+c−1b+c=1a+b−1a+c
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.