Математикадан аудандық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 10 сынып

$\dfrac{{{x}^{3}}+x+2}{{{x}^{2}}-7x+12}$ дұрыс емес бөлшегін көпмүше мен қарапайым бөлшектердің қосындысы түрінде жазыңыз. (Қарапайым бөлшек деп $\dfrac{A}{(x-a)^n}$ немесе $\dfrac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n}$ түріндегі бөлшекті айтамыз. $A$, $B$, $a$, $p$, $q$ — нақты сандар, $p^2-4q < 0$, $x$ — айнымалы.)

Комментарий/решение

$$\frac{x^3+x+2}{x^2-7x+12} = \frac{(x+7)(x^2-7x+12)+38x-82}{x^2-7x+12} = x+7+\frac{38x-82}{x^2-7x+12}=x+7+\frac{70(x-3)-32(x-4)}{(x-4)(x-3)}=x+7+\frac{70}{x-4}-\frac{32}{x-3}$$