Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, I тур заключительного этапа

Қандай да бір ретпен, дұрыс 300-бұрыш төбелеріне бір-бірден $1$-ден $300$-ге дейінгі сандарды орналастырған. Әрбір $a$ саны үшін, $a$ санына сағат тілі бойынша орналасқан ең жақын 15 сан арасында, $a$ санынан кіші сандар саны, сағат тіліне қарсы орналасқан $a$ санына ең жақын 15 сан арасындағы кіші сандар санына тең болып шыққан. Егер қандай да бір сан, сол санға жақын орналасқан 30 сандардың барлығынан үлкен болса, ондай санды үлкен сан деп атайық. Үлкен сандардың мүмкін болатын ең кіші саны қанша? ( C. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 10.
Решение. Оценка. Чтобы доказать, что огромных чисел не меньше 10, достаточно доказать, что среди любых 30 стоящих подряд чисел встретится огромное. Действительно, пусть это не так. Тогда рассмотрим самое большое из этих 30 чисел. С одной из сторон от него все 15 ближайших чисел будут входить в эту тридцатку, а значит, будут меньше него. Но тогда по условию и 15 ближайших чисел с другой стороны от него будут меньше него, т. е. оно будет огромным. Противоречие.
Пример. Все числа, заканчивающиеся на 0, расставим в таком порядке: 300, 280, 260, 240, $\ldots,$ 20, 290, 270, 250, $\ldots,$ 10. За ними в подобном же порядке расставим числа, заканчивающиеся на 1: 291, 271, $\ldots,$ 11, 281, $\ldots,$ 1, затем аналогично расставим числа, оканчивающиеся на 2, и т. д. пока круг не замкнётся. Нетрудно убедиться, что все условия будут выполнены, а огромными будут только числа от 291 до 300.