Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, I тур заключительного этапа

Петя натурал $N$ санын ойлады. Ал Вася сол санды тапқысы келеді. Петя Васяға $N+1$ санының цифрлар қосындысын айтты, сосын $N+2$ санының цифрлар қосындысын айтты және осылай жалғастыра берді. Ерте ме, кеш пе ақылды Вася Петяның ойлаған санын кепілді түрде табатыны ақиқат па? ( М. Дидин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Верно.
Решение. Пусть $10^k \le N < 10^{k+1}.$ Через $10^{k+1}-N$ шагов Петя впервые выпишет единицу, а ещё через $10^{k+2}-10^{k+1} = 9 \cdot 10^{k+1}$ шагов он выпишет единицу второй раз. Зная количество шагов между двумя этими событиями, мы найдем $k$, а зная $k$ и количество шагов до первого события, найдём $N.$