Математикадан аудандық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 11 сынып

$y={{x}^{2}}+(2p+1)x+{{p}^{2}}-1$ параболаларының төбелерінің нүктелер жиынын табыңыз, бұл жерде $p$ — нақты сан.

Комментарий/решение

Ответ :геометрическое место вершин парабол-это прямая $y=x+1\dfrac {1}{4}$

Решение. Пусть вершина задана координатами $(m;n)$; известно, что $m=-\dfrac{b}{2a}$ и $n=f (m)$.

Тогда $m=-\dfrac {2p+1}{2}=-p-\dfrac {1}{2}$.

$n=f (-p-\dfrac {1}{2})=-p+\dfrac {3}{4}$

Теперь свяжем координаты, вычтем из $x$ . $y$

$x-y=m-n =(-p-\dfrac {1}{2})-(-p+\dfrac {3}{4})=-1\dfrac {1}{4}$

Осталось записать все это в более привычном виде,как в ответе