Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, II тур регионального этапа

На биссектрисе $AL$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D.$ Известно, что $\angle BAC = 2\alpha,$ $\angle ADC = 3\alpha ,$ $\angle ACB = 4\alpha.$ Докажите, что $BC+CD = AB.$

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. На продолжении отрезка $BC$ за точку $C$ выберем точку $E$ так, что $CD = CE.$ Тогда $\angle ACD = 180^\circ -\angle DAC-\angle ADC = 180^\circ -4\alpha = \angle ACE.$ Следовательно, треугольники $ACD$ и $ACE$ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $\angle AEC = \angle ADC = 3\alpha$ и $\angle CAE = \angle CAD = \alpha.$ Заметим, что $\angle BAE = \angle BAC+\angle CAE = 3\alpha = \angle AEB.$ Таким образом, треугольник $ABE$ равнобедренный и $AB = BE = BC+CE = BC+CD.$

http://matol.kz/comments/1722/show