Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, I тур регионального этапа

Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $E$ так, что $AE = DE$ и $\angle ABE = 90^\circ.$ Точка $M$ --- середина отрезка $BC.$ Найдите угол $DME.$ ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $90^\circ.$
Решение. Обозначим через $N$ середину отрезка $AD.$ Поскольку треугольник $AED$ равнобедренный, $EN \perp AD.$ Так как $AB \parallel MN$ и $\angle ABE = 90^\circ ,$ то $BE \perp MN.$ Таким образом, $E$ --- точка пересечения высот треугольника $BMN.$ Значит, $ME \perp BN.$ Так как $BMDN$ --- параллелограмм, $BN \parallel DM,$ откуда $\angle DME = 90^\circ.$