Областная олимпиада по математике, 2018 год, 11 класс

Точка $P$ лежит внутри треугольника $ABC.$ Прямые $AP,$ $BP$ и $CP$ пересекают прямые $BC,$ $CA$ и $AB$ соответственно в точках $D,$ $E$ и $F.$ Докажите, что если два из шести четырёхугольников $ABDE,$ $BCEF,$ $CAFD,$ $AEPF,$ $BFPD$ и $CDPE$ таковы, что около них можно описать окружность, то окружность можно описать около каждого из этих шести четырёхугольников.

Комментарий/решение

Рассмотрим три случая,

1)когда около одно из трёх треугольников (X)$ABDE, BCEF, CAFD$ в пару к одному из треугольников (Y)$AEPF, BFPD, CDPE$ можно описать. Так как остальные рассматриваются аналогично.

2) только из $X$

3) только из $Y$

1) Пусть $AEPF, CAFD$ вписанные, из равенств $\angle 180-\angle AEP = \angle AFP = \angle ADC$ значит $ABDE$ вписанный, откуда $ \angle DCF = \angle FAP = \angle FEP = \angle PED$ значит $CDPE$ и $BFEC$ вписанные , $ \angle DBE = \angle CAD \angle CFD$ значит $BFPD$ вписанный.

2) Пусть $ABDE$ и $BFEC$ из равенств углов

$\angle DBE = \angle CFE$ и $\angle DAE = \angle DBE$ откуда $AFPE$ вписанный, из $\angle BCF = \angle BEF = \angle BAD = \angle BED$ значит $CAFD, CDPE$ вписанные, откуда следует вписаность $BFPD$.

3) Пусть $BFPD , CDPE$ вписанные, откуда немедленно следует вписанность $AFEP$ , так как $\angle BFD = \angle BPD = \angle BCA$ откуда следует вписанность последних трёх .