Областная олимпиада по математике, 2018 год, 11 класс

Найти все пары натуральных чисел $(x,\ y)$ таких, что $2^x+3^y$ является точным квадратом.

Комментарий/решение

$2^x+3^y=z^2$

С одной стороны, $z^2 \equiv \{0,\,1\}\pmod{3}$, с другой, $2^x \equiv \{1,\,2\}\pmod{3}$, тогда $x$ - чётный.

С одной стороны, $z^2 \equiv \{0,\,1\}\pmod{4}$, с другой, $3^y \equiv \{1,\,3\}\pmod{3}$, тогда $y$ - чётный.

Получим, $(2^a)^2+(3^b)^2=z^2$, тогда, $(2^a, \, 3^b, \, z)$ - примитивная пифагорова тройка.

Значит,

$\begin{cases}2^a=2mn;\\ 3^b=m^2-n^2\end{cases}$, где $m, \, n$ - числа разной четности. Откуда $m=2, \, n=1$, тогда $x=4, \, y=2, \ z= \pm 5.$