Областная олимпиада по математике, 2018 год, 9 класс

Найдите все функции $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ такие, что при всех $m,n\in \mathbb{N}$ $f\left( m-n+f(n) \right)=f(m)+f(n).$

Комментарий/решение

Ответ: $f(n)=2n$.

Решение. Положим $m=n$. Получим $\forall n∈\mathbb{N}$

$$f(f(n))=2f(n).$$

Вместо $n$ подставим $f(n)$. Получим $\forall m,n∈\mathbb{N}$

$$f(m-f(n)+f(f(n))=f(m)+f(f(n)) \Leftrightarrow f(m+f(n))=f(m)+2f(n).$$

Пусть $m=n+1$. Тогда $\forall n∈\mathbb{N}$

$$f(n+1)+f(n)=f((n+1)-n+f(n))=f(1+f(n))=f(1)+2f(n).$$

Отсюда $\forall n∈\mathbb{N}$

$$f(n+1)=f(1)+f(n)=C+f(n),$$

где $C=f(1)∈\mathbb{N}$.

Значит,$\forall n∈\mathbb{N}$ $f(n)=Cn.$

Далее, с одной стороны

$$\forall n∈\mathbb{N}\quad f(f(n))=f(Cn)=C^2 n,$$

с другой

$$\forall n∈\mathbb{N}\quad f(f(n))=2f(n)=2Cn.$$

Следовательно, $C=2$. Таким образом, $\forall n∈\mathbb{N}$

$$f(n)=2n.$$

Нетрудно убедиться, что эта функция подходит.

Сделаем $m$=$n$.Тогда получим $f$($f$($n$))=2$f$($n$)

Скажем $f$($n$)=$x$ $\Rightarrow$ $f$($x$)=2$x$

Проверив получаем что функция подходит

Вы уверены что ваш $f(n)$ сможет покрыть любое число? (Surjectiveness)

Нипон

Не факт же что все числа могут быть представлены каким то $f(n)$, по этому и не факт что для всех чисел $f(x)=2x$. Пример: $f(x)=x^2$, ты тут не сможешь представить какие то отрицательные числа.

Думаю сможет, так как уже в задаче, сказано что все числа должны быть натуральными ведь, а значит отрицательные полюбому никак не поставить, это нам и не требуется

Он имеет ввиду, что если, к примеру, взять $f(x)=x^2$ и сделать замену $x=f(y)$, то так как $f(y)=y^2\geq 0$, $x$ никак не будет полностью покрывать область определения функции, следовательно целый участок будет не определен и в данном случае не факт, что область значений функции $f(n)$ это $\mathbb{N}$. В свою очередь, автор решения не учел, что если $x=f(n)=2n$, то $f(x)=f(2n)$ (то есть его изначальное выражение работает только для четных), а значит он просто не доказал, что его утверждение, что $f(n)=2n$, равносильно изначальному.