Западно-Китайская математическая олимпиада, 2013 год

Существуют ли такие целые $a,b,c$, что $a^2bc+2,$ $ab^2c+2,$ $abc^2+2$ — полные квадраты?

Комментарий/решение

Ответ: Не существует.

Допустим, что существует $x,y,z\in\mathbb Z$ для которых верны равенства

$$a^2bc+2=x^2,$$

$$ab^2c+2=y^2,$$

$$abc^2+2=z^2.$$

Если $2\mid a,$ то $x^2\equiv 2\pmod 4,$ что невозможно. Значит $2\nmid a,b,c.$ Тогда $a,b,c\equiv \pm 1\pmod 4,$ но с другой стороны

$$a^2bc+2\equiv ab^2c+2\equiv abc^2+2\equiv 1\pmod 4$$

$$\implies a^2bc\equiv ab^2c\equiv abc^2\equiv -1\pmod 4\implies a\equiv b\equiv c\pmod 4$$

$$\implies -1\equiv a^2bc\equiv a^4\equiv (\pm 1)^4\equiv 1\pmod 4,$$

но тогда $4\mid 2,$ что невозможно.

$$a,b,c \equiv \pm 1 \pmod 4 \Longrightarrow a^2,b^2,c^2 \equiv 1 \pmod 4 \Longrightarrow$$ $$bc+2 \equiv ca+2 \equiv ab+2 \equiv 1 \pmod 4 \Longrightarrow ab,bc,c \equiv 3 \pmod 4 \Longrightarrow$$ $$\Longrightarrow (abc)^2=(ab)(bc)(ca) \equiv 3\cdot 3\cdot 3 \equiv 3 \pmod 4⠀\varnothing$$