Западно-Китайская математическая олимпиада, 2012 год

Определим последовательность $\{a_n\}$ следующим образом: $a_0=\frac{1}{2},$ $a_{n+1}=a_{n}+\frac{a_{n}^2}{2012}$ $(n=0,\ 1,\ 2,\ \ldots).$ Найдите целое $k$, для которого верны неравенства $a_{k} < 1 < a_{k+1}.$

Комментарий/решение

$$ a_0=\frac{1}{2} , \quad a_{n+1}=a_n+\frac{a^2_n}{2012} \Rightarrow 0<a_0<a_1<a_2<...<a_n<a_{n+1}<... \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}}<1$$

$$ a_{n+1}=a_n+\frac{a^2_n}{2012} \Rightarrow \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_n}{2012a_{n+1}}$$

$$ \sum_{n=0}^{k}\left( \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)=\frac{1}{2012}\sum_{n=0}^{k}\frac{a_n}{a_{n+1}}<\frac{1}{2012}\left(\underbrace{1+1+..+1}_{k+1}\right)=\frac{k+1}{2012}$$

$$ \sum_{n=0}^{k}\left( \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)=\frac{1}{a_0}-\frac{1}{a_{k+1}}=2-\frac{1}{a_{k+1}}<\frac{k+1}{2012}\Rightarrow \frac{1}{a_{k+1}}>\frac{4023-k}{2012}$$

$$ a_{k+1}>1\Rightarrow \frac{1}{a_{k+1}}<1 \Rightarrow \frac{4023-k}{2012}<1\Rightarrow k>2011 \qquad (*)$$

$$ \frac{1}{a_k}>\frac{4024-k}{2012}\Rightarrow a_k<\frac{2012}{4024-k}\Rightarrow \frac{2012}{4024-k}\leq1\Rightarrow k \leq 2012 \qquad (**)$$

$$ (*),(**)\Rightarrow k\in(2011,2012]$$

$$ k\in \mathbb{N}: k=2012$$