Западно-Китайская математическая олимпиада, 2012 год
Определим последовательность {an} следующим образом:
a0=12, an+1=an+a2n2012 (n=0, 1, 2, …).
Найдите целое k, для которого верны неравенства ak<1<ak+1.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
a0=12,an+1=an+a2n2012⇒0<a0<a1<a2<...<an<an+1<...⇒anan+1<1
an+1=an+a2n2012⇒1an−1an+1=an2012an+1
k∑n=0(1an−1an+1)=12012k∑n=0anan+1<12012(1+1+..+1⏟k+1)=k+12012
k∑n=0(1an−1an+1)=1a0−1ak+1=2−1ak+1<k+12012⇒1ak+1>4023−k2012
ak+1>1⇒1ak+1<1⇒4023−k2012<1⇒k>2011(∗)
1ak>4024−k2012⇒ak<20124024−k⇒20124024−k≤1⇒k≤2012(∗∗)
(∗),(∗∗)⇒k∈(2011,2012]
k∈N:k=2012
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.