Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Западно-Китайская математическая олимпиада, 2012 год


Определим последовательность {an} следующим образом: a0=12, an+1=an+a2n2012 (n=0, 1, 2, ). Найдите целое k, для которого верны неравенства ak<1<ak+1.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 9 месяца назад #

a0=12,an+1=an+a2n20120<a0<a1<a2<...<an<an+1<...anan+1<1

an+1=an+a2n20121an1an+1=an2012an+1

kn=0(1an1an+1)=12012kn=0anan+1<12012(1+1+..+1k+1)=k+12012

kn=0(1an1an+1)=1a01ak+1=21ak+1<k+120121ak+1>4023k2012

ak+1>11ak+1<14023k2012<1k>2011()

1ak>4024k2012ak<20124024k20124024k1k2012()

(),()k(2011,2012]

kN:k=2012