Западно-Китайская математическая олимпиада, 2012 год

Задача №1. Найдите наименьшее натуральное

$m$ такое, что

$105|9^{ p^2}-29^p+m$ при любом простом

$p > 3$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Докажите, что среди любых

$n\geq 3$ вершин правильного

$(2n-1)$ -угольника можно найти

$3$ , являющиеся вершинами равнобедренного треугольника.
комментарий/решение

Задача №3.

$A$ —

$n$ -элементное множество.

$A_1, A_2, \ldots A_k$ — такие подмножества

$A$ , что любые

$2$ различных подмножества

$A_i, A_j$ либо не пересекаются, либо одно из них полностью содержит другое. Найдите наибольшее возможное значение

$k$ .
комментарий/решение

Задача №4. Точка

$P$ лежит внутри

$\Delta ABC$ ,

$\omega$ — описанная окружность

$\Delta ABC$ .

$BP \cap \omega = \left\{ B,B_1 \right\}$ ,

$CP \cap \omega = \left\{ C,C_1 \right\}$ ,

$PE \bot AC$ ,

$PF \bot AB$ . Радиусы вписанной и описанной окружностей

$\Delta ABC$ обозначим через

$r,R$ . Докажите, что

$\frac{{EF}}{{{B_1}{C_1}}} \geq \frac{r}{R}$ .
комментарий/решение

Задача №5.

$O$ и

$H$ — центр описанной окружности и ортоцентр остроугольного

$\Delta ABC$ , соответственно.

$F$ — середина

$AO$ ,

$AD \bot BC$ ,

$EF$ — серединный перпендикуляр

$AO$ (

$D,E$ лежат на

$BC$ ). Докажите, что описанная окружность

$\Delta ADE$ проходит через середину

$OH$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Определим последовательность

$\{a_n\}$ следующим образом:

$a_0=\frac{1}{2},$

$a_{n+1}=a_{n}+\frac{a_{n}^2}{2012}$

$(n=0,\ 1,\ 2,\ \ldots).$ Найдите целое

$k$ , для которого верны неравенства

$a_{k} < 1 < a_{k+1}.$
комментарий/решение(1)

Задача №7. Дано натуральное

$n\geq 2$ . Рассмотрим таблицу

$n\times n$ , заполненную единицами. Разрешается проделывать следующую операцию: выбирать какую-то клетку и менять знак у чисел в клетках, соседних с выбранной по стороне. Найдите все такие

$n$ , для которых за конечное число операций можно сделать все числа в таблице равными

$-1$ .
комментарий/решение

Задача №8. Найдите все такие простые

$p$ , что существует бесконечно много натуральных

$n$ , удовлетворяющих

$p|n^{ n+1}+(n+1)^n.$
комментарий/решение(1)