Западно-Китайская математическая олимпиада, 2012 год

$O$ и $H$ — центр описанной окружности и ортоцентр остроугольного $\Delta ABC$, соответственно. $F$ — середина $AO$, $AD \bot BC$, $EF$ — серединный перпендикуляр $AO$ ($D,E$ лежат на $BC$). Докажите, что описанная окружность $\Delta ADE$ проходит через середину $OH$.

Комментарий/решение

$\angle AFE = 90 ^\circ$, поэтому $F$ лежит на $(ADE)$. Пусть $O_9$ на $(ADE)$ такова, что $AF=DO_9$ и $F,O_9$ лежат на одной полуплоскости относительно $AD$. Тогда верно, что $O_9$ - середина $OH$.