Западно-Китайская математическая олимпиада, 2012 год

Найдите наименьшее натуральное $m$ такое, что $105|9^{ p^2}-29^p+m$ при любом простом $p > 3$.

Комментарий/решение

Ответ: $m=20.$

Разложим на простые $105=3\cdot 5\cdot 7.$ Тогда условие равносильно с совокупностью следующих условий

$1)\quad 3\mid -(-1)^{p}+m=m+1\iff m+1=3a,$

$2)\quad 5\mid (-1)^{p^2}-(-1)^p+m=m\iff m=5b,$

$3)\quad 7\mid 2^{p^2}-1+m.$

Заметим, что $p>3\iff p=3s\pm 1\iff p^2\equiv 1\pmod 3\iff 2^{p^2}\equiv 2\pmod 7,$ поскольку $3$ показатель числа $2$ по модулю $7.$

Откуда из $3)\iff 7\mid m+1\iff m+1=7c.$ Тогда $\min m=20.$ Легко понять, что $m=20,$ поскольку переходы были равносильными.