Западно-Китайская математическая олимпиада, 2011 год

Существуют ли нечетное $n \geq 3$ и различные простые $p_1 , p_2, \ldots p_n$ такие, что все числа вида $p_i + p_{i+1} (i = 1,2,\ldots , n$; $p_{n+1} = p_{1})$ являются полными квадратами?

Комментарий/решение

Ответ: нет.

Давайте рассмотрим по $mod$ $4$.

Допустим что в наборе нет $p=2$, получается что все числа будут нечетными, и все квадраты будут четными и делятся на 4. Значит что остатки наших чисел должны быть в последовательности: $$\equiv 1,3,1...(mod 4)$$

$$or$$

$$\equiv 3,1,3...(mod 4)$$

Но заметим, так как количество чисел нечетное, то первая и последняя числа в сумме $\equiv 2 (mod 4)$ что не может быть квадратом целого числа.

Теперь допустим что в наборе есть такое $p\hat{}=2$, то тогда слева и справа от него будут числа $\equiv 3 (mod 4)$, и получаем так же что первое и последнее число будут $\equiv 1,1 (mod 4)$ или $\equiv 3,3(mod 4)$ что противоречиво.(двойка стоять первой или последней не может)