Районная олимпиада, 2013-2014 учебный год, 10 класс

Функция $f:\mathbb{R}\backslash \left\{ 0,1 \right\}\to \mathbb{R}$ задается следующим образом: $f\left( x \right)=\dfrac{{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{3}}}{{{x}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$. Докажите, что $f\left( x \right)=f\left( 1-x \right)=f\left( \dfrac{1}{x} \right)$ для всех $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0,1 \right\}$.

Комментарий/решение

$f(x)=\cfrac{(x^2-x+1)^3}{x^2(x-1)^2}.$

$f(1-x)=\cfrac{((1-x)^2-(1-x)+1)^3}{(1-x)^2(1-x-1)^2}=\cfrac{(x^2-x+1)^3}{x^2(x-1)^2}.$

$f\left(\cfrac{1}{x}\right)=\cfrac{\left(\left(\cfrac{1}{x}\right)^2-\cfrac{1}{x}+1\right)^3}{\left(\cfrac{1}{x}\right)^2\left(\cfrac{1}{x}-1\right)^2}=\cfrac{\left(\cfrac{1-x+x^2}{x^2}\right)^3}{\cfrac{1}{x^2}\cfrac{(1-x)^2}{x^2}}=\cfrac{(x^2-x+1)^3}{x^2(x-1)^2}.$

$f(x)=f(1-x)=f\left(\cfrac{1}{x}\right).$