Западно-Китайская математическая олимпиада, 2006 год

$AB$ — диаметр окружности с центром $O$. Точка $C$ лежит на прямой $AB$. Прямая, проходящая через $C$ пересекает рассматриваемую окружность в точках $D$ и $E$. $OF$ — диаметр описанной окружности с центром $O_{1}$ треугольника $BOD$. Прямая $CF$ пересекает окружность с центром в $O_{1}$ во второй раз в точке $G$. Докажите, что точки $O,A,E,G$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Несложно получить вписанность $GECB$, это верно так как $$\angle BGC=\angle BGF=\angle BOF=\angle BAD=\angle BED=\angle CEB.$$ Пусть $\angle BAE=\alpha$, тогда $\angle EBA=90^\circ-\alpha$. Очевидно, что $\angle OGC=90^\circ$, значит $$\angle OGE=360^\circ-\angle OGC-\angle CGE=360^\circ-(180^\circ+\alpha)=180^\circ-\alpha=180^\circ-\angle OAE,$$ значит, точки $O,A,E$ и $G$ лежат на одной окружности.