Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Западно-Китайская математическая олимпиада, 2006 год


В PBC PBC=60o, касательная в точке P к описанной окружности g PBC пересекается с прямой CB в точке A. Точки D и E лежат на отрезке PA и окружности g, соответственно, причем DBE=90o и PD=PE. BE и PC пересекаются в F. Известно, что прямые AF,BP,CD пересекаются в одной точке.
а) Докажите, что BF — биссектриса PBC.
б) Найдите tanPCB.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   2
1 года 3 месяца назад #

a) Пусть BAF=a, PAF=b, PDC=x, CDB=y,CBF=z

Пусть GAFCDBP тогда по теореме Менелая, выходит:

ADPGPDPG=ACBC

CFPGFPBG=ACAB

или ADBCFPPDCFAB=1 

Выражая ABD,BCF,(BFP,BDP) соотношения и подставляя в () получаем

ctgz=tg(30+z)z=30 значит BF биссектриса.

б) из треугольников BPE,BPD учитывая PE=PD откуда соответственно PCB=t

PEBP=12sin(t)PDBP=sin(60)sin(120t) если tgt=x

которая сводиться 32x+12=3 или tgPCB=3121