Западно-Китайская математическая олимпиада, 2006 год
В △PBC ∠PBC=60o, касательная в точке P к описанной окружности g △PBC пересекается с прямой CB в точке A. Точки D и E лежат на отрезке PA и окружности g, соответственно, причем ∠DBE=90o и PD=PE. BE и PC пересекаются в F. Известно, что прямые AF,BP,CD пересекаются в одной точке.
а) Докажите, что BF — биссектриса ∠PBC.
б) Найдите tan∠PCB.
посмотреть в олимпиаде
а) Докажите, что BF — биссектриса ∠PBC.
б) Найдите tan∠PCB.
Комментарий/решение:
a) Пусть ∠BAF=a, ∠PAF=b, ∠PDC=x, ∠CDB=y,∠CBF=z
Пусть G∈AF∩CD∩BP тогда по теореме Менелая, выходит:
AD⋅PGPD⋅PG=ACBC
CF⋅PGFP⋅BG=ACAB
или AD⋅BC⋅FPPD⋅CF⋅AB=1 ∗
Выражая ABD,BCF,(BFP,BDP) соотношения и подставляя в (∗) получаем
ctgz=tg(30+z)z=30∘ значит BF биссектриса.
б) из треугольников BPE,BPD учитывая PE=PD откуда соответственно ∠PCB=t
PEBP=12sin(t)PDBP=sin(60∘)sin(120∘−t) если tgt=x
которая сводиться √32x+12=√3 или tg∠PCB=√3√12−1
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.