Районная олимпиада, 2001-2002 учебный год, 11 класс

Решите в целых числах уравнение $6x^2 + 5y^2 = 74$.

Комментарий/решение

$$6x^2+5y^2=74$$

$$ y=\pm\frac{1}{\sqrt {5}}\sqrt {74-6x^2}$$

Все решении в виде $$(x_n; y_n) $$

$$ (3; 2)(3;-2)(-3; 2)(-3;-2)$$

Хотелось бы, чтобы какие-то объяснения сопровождали Ваши решения. Вырезав $y$ через $x$ а после записать конечный ответ, не так классно.

$$6x^2+5y^2=74$$

$$x^2=t, y^2=z \Rightarrow 6t+5z=74$$

$$ (t_0,z_0)\rightarrow (4,10) \Rightarrow 6t+5z= 6\cdot 4 + 5 \cdot 10 \Rightarrow $$

$$\Rightarrow 5(z-10)= 6(4-t) \Rightarrow \forall k \in \mathbb{Z}: z-10= 6k \Rightarrow z=6k+10\Rightarrow t=4-5k$$

$$z(-1)=4 = y^2 , t(-1)=9=x^2 \Rightarrow (-3,2) (-3,-2)(3,-2)(3,2)$$