Западно-Китайская математическая олимпиада, 2003 год

Неотрицательные числа $ x_1, x_2, \ldots, x_5$ удовлетворяют равенству $\sum\limits_{i = 1}^5 {\frac{1}{{1 + {x_i}}}} = 1$. Докажите, что $ \sum_{i = 1}^5 \frac {x_i}{4 + x_i^2} \leq 1$.

Комментарий/решение

$\frac{a}{4+a^2}=\frac{3}{4(a+1)} + \frac{1}{20} - \frac{(a+4)(a-4)^2}{a^2+4}\le \frac{3}{4(a+1)} + \frac{1}{20}$

$\sum \frac{x_i}{4+x_i^2}\le \sum(\frac{3}{4(x_i+1)} + \frac{1}{20})=1$