Западно-Китайская математическая олимпиада, 2003 год

В выпуклый четырехугольник $ABCD$ вписали окружность, которая касается сторон $AB, BC, CD, DA$ в точках $A_1, B_1, C_1, D_1$, соответственно. Через $E, F, G, H$ обозначим середины $A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1$, соответственно. Докажите, что $EFGH$ является прямоугольником тогда и только тогда, когда $A, B, C, D$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

По теорема Брианшона $AC,BD,A_{1}C_{1},B_{1}D_{1}$ пересекаются в одной точке $I$, пусть $O$ центр описанной окружности около четырехугольника $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ $A_{1}OD_{1} = a , B_{1}OC_{1}=b$ тогда $\angle BAD = 180-a, \angle BCD = 180-b$ так как $EFGH$ прямоугольник, то $\alpha (A_{1}C_{1} , B_{1}D_{1}) = 90^{\circ}$ из-за средних линии треугольников, откуда $\angle A_{1}C_{1}D_{1} + B_{1}D_{1}C_{1} = \dfrac{a+b}{2} = 90^{\circ}$ или $a+b=180^{\circ}$ но тогда $\angle BAD + \angle BCD = 360^{\circ}-(a+b) = 360^{\circ}-180^{\circ}= 180^{\circ}$ то есть $ABCD$ вписанный