Западно-Китайская математическая олимпиада, 2002 год

Дано натуральное $n$. Найдите все последовательности целых чисел $(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})$, удовлетворяющие следующим условиям:
(i) $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\ge n^2$;
(ii) $a_{1}^2+a_{2}^2+\ldots+a_{n}^2\le n^3+1$.

Комментарий/решение

$$\sum_{i=1}^n a_i \geq n^2 \Rightarrow \sum_{i=1}^n a_i -a_k\geq n^2 -a_k \qquad 1 \leq k\leq n$$

$$\Rightarrow \frac{ \sum_{i=1}^n a_i -a_k}{n-1}\geq \frac{n^2 -a_k} {n-1}$$

$$\frac{n^2 -a_k} {n-1} \leq \frac{ \sum_{i=1}^n a_i -a_k}{n-1}\leq \sqrt{\frac{ \sum_{i=1}^n a_i^2 -a_k^2}{n-1}}\leq \sqrt{\frac{ n^3+1-a_k^2}{n-1}}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \frac{n^2 -a_k} {n-1} \leq \sqrt{\frac{ n^3+1-a_k^2}{n-1}} \Rightarrow (n^2 -a_k)^2 \leq (n-1)( n^3+1-a_k^2)$$

$$\Rightarrow na_k^2-2n^2a_k+n^3-n+1\leq 0$$

$$\Delta = 4n^4-4n(n^3-n+1)=\Bigg(2\sqrt{n(n-1)}\Bigg)^2$$

$$na_k^2-2n^2a_k+n^3-n-1=\Bigg(a_k-n+\sqrt{1+\frac{1}{n}}\Bigg)\Bigg(a_k-n-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\Bigg)\leq 0$$

$$\Rightarrow n-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\leq a_k \leq n+\sqrt{1+\frac{1}{n}}\Rightarrow a_i=n$$