Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 9 класс

Найдите все значения параметра $p$, для которых существуют ровно два целых значения $x$, удовлетворяющих неравенству $x^2+5\sqrt2 x+p<0$.

Комментарий/решение

Пусть $f(x)=x^2+5 \sqrt{2} x+p= \left( x+ \cfrac{5 \sqrt{2}}{2} \right)^2 -\cfrac{25}{2}+p$.

Вершина параболы имеет абсциссу $x_0=-\cfrac{5 \sqrt{2}}{2}$, заметим, что $-4 \leqslant x_0 \approx -3{,}53 \leqslant -3$.

При $p \geqslant \cfrac{25}{2}$, $f(x) \geqslant 0$.

При уменьшении параметра $p$, парабола будет опускаться вниз, не изменяя абсциссу вершины.

Тогда $x=\{-4;\,-3\}$ - должны быть решением исходного неравенства.

Так как по условию существует ровно два целых решения, то $p \in \left(-f(-5); \, -f(-3)\right]$ или $p \in \left(25 \sqrt{2} -25; \,15 \sqrt{2} -9 \right]$.